Ecuaciones Cuadráticas

l2dj
Creado por: l2dj
Día: February 21, 2013
Vistas: 34468

Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma:

                  Figura 1                  

     La máxima cantidad de soluciones reales o diferentes valores reales que puede asumir la variable x en una ecuación cuadrática es dos como lo indica su grado.  Hay distintos métodos que pueden ser utilizados para hallar sus soluciones, los mismos son aplicados de acuerdo a la composición que tenga la ecuación cuadrática que se esté trabajado. Discutiremos tres distintos métodos: Método de la raíz, Método de Completar el cuadrado y la Fórmula Cuadrática.

I. Método de la raíz

     El método de la raíz se le puede aplicar a todas aquellas ecuaciones cuadráticas que tan sólo tengan un término con variable y sea el cuadrático, de haber varios términos cuadráticos tienen que ser semejantes. Si al simplificar la ecuación, quedan términos lineales entonces no es aplicable el método.

Ejemplo 1:

    A cuáles de las siguientes ecuaciones cuadráticas le podemos aplicar el  Método de la raíz.

1.     3X – 7X2 =9

2.     (X-1)+ 6 =9

3.     (3X+1)2- 6 = -5+(X-4)2 

4.     (3X+1)2  = 4 - 9(3X+1)2 

Respuestas:

1.      No, porque tiene término con variable lineal.

2.      , porque tiene un sólo término con variable cuadrático (elevado a la dos).

3.      No, porque los términos cuadráticos no son semejantes.

4.      , porque los términos cuadráticos son semejantes.

 

Pasos para resolver una ecuación cuadrática por el Método de la raíz

1. Rescribir la ecuación con el término cuadrático de un lado de la igualdad, del otro, las constantes.

2. Verificar cuál de los tres siguientes casos aplica:

      Caso 1: Dos soluciones complejas reales:

                     (X-h)2  = k,  k > 0

      Caso 2: Una única solución real:

                    (X-h)2  = k,  k = 0

     Caso 3: Ninguna solución real:

                    (X-h)2  = k,  k < 0

3. Verificar que el coeficiente numérico de la variable sea 1, de no serlo divida todos  los términos de la ecuación entre tal coeficiente.*

4.  Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad y simplifique (recuerde añadir el signo + y - del lado de las constantes).

5. Divida su resultado en dos diferentes casos, uno usando la suma (+) y el otro usando la resta (-), si aplica, y resuelva cada ecuación hasta dejar la variable sola.

6. Verifique sus soluciones en la ecuación original y concluya su conjunto solución. ( opcional)

Veamos los siguientes ejemplos...

Ejemplo 2:

     Determine las soluciones para 3(x+5)2-4=8. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

   Ejemplo 1 M Raiz


          


Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.


Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.


Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.


Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.


Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.


Ejemplo 3:

     Determine las soluciones para 4(2x-1)2+6=9. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

   Ejemplo 2 M Raiz


          



Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.



Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.



Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.



Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.



Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.


Ejemplo 4:

     Determine las soluciones para [(x+5)/3]2+12=12. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

   Ejemplo 3 M Raiz


          



Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.


Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.


Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.


Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.


Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.


 Ejemplo 5:

     Determine las soluciones para 2x2+6x+8=3(x2+2x)+12. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

   Ejemplo 4 M Raiz


          


Escribir la ecuación a resolver y verificar que el coeficiente del término cuadrático sea uno.


Despejar para el término cuadrático utilizando las propiedades de la igualdad.


Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.


Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.


Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.


       El conjunto solución de la ecuación en los números reales es nulo, bajo el conjunto de los números complejos es  x = -2i  y x = 2i.  

 

II. Método de Completar el Cuadrado

      Para poder utilizar el Método de Completar el Cuadrado la ecuación cuadrática debe tener término lineal bx, b no puede ser cero, de lo contrario no lo podemos aplicar.

Ejemplo 6:

     Determine cuál de las siguientes ecuaciones puede ser trabajada Completando el Cuadrado:

          1)   X2 +7=3                 Si / No

           2)   X(X-2)-4=9            Si / No

           3)   X +7=3                   Si / No               

Respuestas: 

    1)      No, porque no tiene el término con variable lineal.

          2)      , porque tiene el término con variable cuadrático y el término con variable lineal.

          3)      No, porque no tiene el término cuadrático.


      Este método tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). La ecuación es de la forma: (x-h)2= ..., luego se resuelve por el método de la raíz.


Pasos para aplicar el Método de Completar el Cuadrado

1) Rescriba la ecuación con los términos con variables de un lado, simplificados y ordenados,  del otro la constante.

2) Asegúrese que   a  sea 1, de no serlo  divida todos los términos entre a y simplifique.

3) Determine b y con el calcule (b/2)2 y sume tal resultado en ambos lados de la ecuación.

4) Factorice el trinomio como un Trinomio Cuadrado Perfecto de la forma: [x+(b/2)]2

5) Resuelva la ecuación por el método de la raíz

6) Verifique y concluya su conjunto solución.

Veamos los siguientes ejemplos...

Ejemplo 7:

     Determine las soluciones para x2-8x+14=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

   Eje 1 Completar Cuadrado


          


Escribir la ecuación a resolver despejar para la constante.


Buscar el número que completa el cuadrado y sumarlo en ambos lados de la ecuación.


Factorizar un lado de la ecuación y simplificar en el otro. 


Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.


Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.


Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.


Ejemplo 8:

     Determine las soluciones para 3x2-12x-15=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

 

  Ejemplo 2 Completar Cuadrado


          



Escribir la ecuación a resolver despejar para la constante.



Buscar el número que completa el cuadrado y sumarlo en ambos lados de la ecuación.



Factorizar un lado de la ecuación y simplificar en el otro. 



Buscar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.



Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.



Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.



III. Fórmula Cuadrática

La Fórmula Cuadrática puede ser aplicada a toda ecuación cuadrática.

     Este es el único método que no tiene restricciones en su aplicación, contrario a los métodos ya discutidos. Al igual que el método de factorización este requiere tener todo el polinomio de un lado, del otro cero, ax2+bx+c=0 para así poder determinar con precisión a, b, c, los correspondientes valores de los coeficientes numéricos en cada término del polinomio  para luego sustituirlos en la  estructura de la Fórmula Cuadrática:

              Fla Cdtica

Es importante apreciar que en la fórmula se sustituyen solo los coeficientes numéricos  (no las variables). La variable es precisamente la desconocida que estamos buscando, que asumirá los valores obtenidos de la sustitución y simplificación en la fórmula cuadrática.

Pasos  para resolver la ecuación usando la Fórmula Cuadrática

1)  Rescriba la ecuación con todos los términos de un lado de la igualdad, simplificados y ordenados,  del otro cero así: ax2+bx+c=0.

                             

2)  Determine los valores de los coeficientes numéricos. Para facilitar los cálculos en la sustitución en caso de estos ser fracciones o decimales puede rescribir la ecuación por una equivalente más simple.

3)  Sustituir los valores de a, b, c  (sin la variable) en la Fórmula Cuadrática:

                 Fla Cdtica

Y simplifique (recuerde separar en dos  ecuaciones, si aplica,  una usando la operación resta y otra la operación suma).

4) Verifique los valores obtenidos en la ecuación original y concluya su conjunto solución.


Ejemplo 9:

     Determine las soluciones para 4x2-12x+9=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)

Solución: 

   Eje. 1 Fórmula Cuadrática


          


Escribir la ecuación a resolver en forma general.


Identificar los valores de a, b y c.


Buscar el discriminante para identificar cuantas soluciones tiene la ecuación.


Escribir la formula cuadrática, sustituir los valores de a, b y el discriminante.


Evaluar y simplificar la expression.


Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solución.



Cantidad soluciones reales de una ecuación cuadrática:

Para determinar la cantidad de soluciones reales o raíces que ha de tener una ecuación cuadrática se utiliza los resultados que se obtienen de la evaluación del radicando b2-4ac de la fórmula cuadrática, este se conoce como discriminante. Las raices de la ecuación cuadratica dependen del valor del discriminante, podemos saber si tendrá dos raices reales, dos raices complejas (imaginarias) o una única solución real.

Conclusiones:

    1. Si  b2-4ac=0  entonces la ecuaión cuadrática tiene una única solución real.

    2. Si b2-4ac>0  entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.

    3. Si b2-4ac<0  entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Veamos los siguientes ejemplos:

 Tabla discriminantes